國立中山大學107年度高教深耕教學創新計畫結案報告

計畫名稱：問題導向學習波方程    

(一)具體措施、創新作法及自我檢討評估與改善機制

本計畫改良原有的專題研究課程，成為以學生為中心的議題式導向創新課程，具體執行措施如下。同學先選定一個波動的實際問題，針對其主題蒐集資料，並研讀相關書籍與論文。然後學生要使用數學軟體，設計算法和編寫程式來計算其問題，每位學生在學期末繳交成果報告一份。在每週一至二次的定期個別會談，老師針對每一題目建議研究的方向，提供所需的數學與電腦知識，解決數學理論與計算方法上的困難，確定進度之執行，以順利完成研究目標。老師針對教學目標進行問題的引導，培養學生的思考、討論、批判與問題解決能力，並進行目標問題的知識建構、分享與整合。另外本計畫申請到一位助教協助課程，幫忙指導學生數學軟體的使用、程式的寫作和除錯等。

本課程的創新簡述如下。科學、工程、財經與醫藥等領域的許多實際問題可以簡化成微分方程的模型，因此我們就可以透過數學模型來研究各種的真實問題。我們繞過傳統的理論及實驗的研究方法，採用計算的方式來探討微分方程，設計程式或使用數學軟體得到它的數值解或解析解，因此就有足夠的工具可以來深入鑽研原始問題。微分方程經過差分法離散化後就成為矩陣的線性方程組，而微分方程組通常也是用矩陣來表示的。學生所需的數學知識不用太多，只要能做大量的電腦模擬實驗，就可以從實驗中觀察及猜測出微分方程的現象與特性，並可以解釋、估計和預測原問題的行為與規律，甚至發展出其控制機制的突破性發明。

本計畫翻轉原來的專題研究課程，將之改造成為實踐型與跨界型的任務導向課程。以學生為中心的創新特色作法，利用真實的問題來引發學生的興趣，有效提升學生自主學習的動機。這學期有三位學生的題目是我給的，另一位則自選主題，同學要自主蒐集和研讀相關書籍與論文，培養自學的能力。教師與學生協商決定進行研究的目標與方向，藉由每次的討論引導學習者思考與批判，培養其實驗、實作與問題解決的能力。學生的具體學習成效，可以從定期的討論、每周的執行進度與期末的成果報告中評估出來。

修課同學中，蔡昆穆自選主題「發電機的搖擺方程式」，這是類似單擺的簡諧運動，一種最基本、最常見的波就是簡諧波，他試了多種方法來求解此方程。另外三位學生選定的題目是我給的波動問題，其中鄭惟泉研究Burgers方程式非線性波的計算，並得到其所有的穩態解。周志健在數學軟體Mathematica上寫程式，可以計算各種線性與非線性波方程，以及熱傳導方程，並能呈現Burgers及各種波和熱傳的動畫圖形。謝亞衛尚未能做到波方程，不過他寫了許多個C語言的程式，也能計算出各類常微分方程式的解。本次結案他們的專題研究報告都有附上，可看出均達成了原設定的教學目標。

期末自我檢討，發現本計畫執行成效極佳。學生在專題的訓練與討論中，從界定問題、蒐集資訊、分析資料、建立假設、比較不同研究策略過程中，訓練出不斷反思學習的能力，激發出批判、創造和解決能力，培養出高層次思考的能力，建立起獨立自主的精神與永續學習的態度。這些都有助於他們就業後的實際情境應用，能發揮處理專案的研究能力，方能面對未來瞬息萬變的社會，與社會脈動及產業發展接軌。

比較可惜的是當初設定學生到相關系所修課或旁聽來跨領域，以及鼓勵學生參加國內相關學術會議以增廣見聞，都與當初構想有相當差距。主要是外系課程大多須要預備知識，也沒同學可以互相討論課業，且本系課業繁重等，都會降低學生的意願。而大學部同學所學知識尚不多，研討會演講大多聽不懂，因此不想浪費時間參加研討會。這是將來課程要努力改善的地方，也要思考是否有什麼機制可鼓勵學生更開放地到外系修課和參加會議。似乎可以改變執行方式，讓大學部同學去聽系上或校內的學術演講，也可達到增進知識與了解研究趨勢的目的。另外本課程原來的設計是以應用數學系的學生為主，鑒於這次的成功，將來應也可開放給其他系所的學生來修。

(二)亮點特色

應用數學系的傳統課程都相當抽象且艱深，即使花很多時間去念也很難全部弄懂。更嚴重的是辛苦學懂了之後也不知道有什麼用，學生極容易產生挫折感，歷年休學、轉學和轉系離開的學生都居高不下。無法轉走的同學就渾渾噩噩打混過日子，最後一事無成，白白浪費了四年。

鑒於此問題的嚴重性，理學院與應用數學系在去年推動大學部多管道學習系統，學生可選擇傳統修課型、畢業論文型、實作實驗型及跨領域型四類的任一管道。後三類其實都是問題導向的學習方向，利用真實的問題來引發學生的興趣，有效提升學生自主學習的動機，培育學生實作能力、創新跨域思維與自主學習能力，希望最終能提高學生的學習成效 。

本計畫執行一學期下來，確實有達到當初設定的目標。本課程有4位同學修課，只有一個成績不錯，其他3位都中等程度。但大家期末都有做出成果來，有些還接近可發表的狀態。同學在數學軟體上寫程式，用電腦算出許多波方程和熱傳方程的解，並畫出各種波的動畫圖形與呈現熱傳播現象的圖形，因此都非常興奮。學生從任務導向的學習中獲得參與感，實作和實驗中得到成就感，堅定了對自己的信心，並激起了他們學習的動機與熱情。

總結來說，本課程讓學生建立起自學的能力，訓練出實際動手實做和電腦模擬實驗的能力，培養出解決真實問題的多元能力，從中體會到數學與科學發展的完整過程，並學習到做研究的重要方法與寶貴經驗，這些都是他們將來就業最需要的技能。